De la cuerda a la nota

¿Te animaste con el experimento de batidos al final del tema anterior? Si lo hiciste, oíste por primera vez los batidos: esa pulsación que sube y baja cuando dos cuerdas están casi pero no exactamente al mismo tono. En este tema vamos a entender qué pasa físicamente cuando ocurre eso, y de paso vamos a desentrañar tres cosas: por qué tu cerebro percibe sonidos como notas, qué pasa cuando dos notas se rozan demasiado, y por qué hay zonas del mástil donde los acordes «se ensucian» y dejan de sonar limpios.

Para llegar ahí tenemos que empezar por algo aparentemente sencillo: el movimiento que vibra. Una cuerda que vibra, una columna de aire que vibra, los pliegues vocales que vibran. Comparten una característica que vamos a estudiar a fondo: son movimientos periódicos, se repiten en el tiempo siguiendo un patrón. No todo sonido del mundo es periódico: el chasquido de un dedo, una consonante explosiva como «p» o «t», el roce de la púa al iniciar la nota… son ruidos no periódicos. Pero la mayor parte de las notas musicales sí lo son al menos durante su parte estable, así que el modelo nos sirve.

Cuando una cuerda de tu guitarra vibra, los puntos de la cuerda se mueven hacia un lado y hacia el otro. Si lo hacen siguiendo un patrón que se repite, decimos que es un movimiento periódico. Para que un movimiento sea periódico estrictamente tiene que cumplir dos cosas: vuelve a su posición de partida y tarda siempre el mismo tiempo en hacerlo. El tiempo que tarda en completar un patrón y volver a empezar se llama período. El patrón básico que se repite es un ciclo.

Si grabas la vibración de una cuerda con un osciloscopio (un aparato que dibuja en una pantalla cómo varía algo en el tiempo), verás un dibujo ondulado que se repite. Si la nota es un La de 440 Hz, el patrón se repite 440 veces por segundo, así que el período dura 1/440 de segundo: aproximadamente 2,3 milésimas de segundo. Demasiado rápido para verlo a simple vista, por eso necesitamos un osciloscopio en lugar del lápiz que usaríamos para registrar movimientos lentos.

Hay un movimiento periódico que es el más sencillo de todos y que aparece por todas partes: el movimiento armónico simple, o M.A.S. para abreviar. Lo encuentras en un péndulo balanceándose, en un muelle al estirarse y volver, en cualquier proyección de un movimiento circular sobre una línea. Matemáticamente se describe con una función sinusoidal: la onda perfectamente lisa que probablemente has visto en cualquier dibujo del sonido.

Tres parámetros lo definen completamente:

• La amplitud: la distancia máxima a la que se aleja del punto de equilibrio.
• El período: el tiempo que tarda en hacer un ciclo completo.
• La fase: en qué punto del ciclo está cuando empezamos a medir.

Veámoslo gráficamente:

Para la música, los dos parámetros que más nos importan son la amplitud (que se relaciona con la sonoridad) y el período (con la altura). La fase importa cuando dos sonidos se superponen — lo veremos en un momento.

En música no usamos directamente el período, usamos su inverso, la frecuencia:

¿Por qué preferimos la frecuencia al período? Porque la sensación de altura crece con la frecuencia: cuanto mayor es la frecuencia, más agudo nos parece el sonido. Es más natural decir «el agudo está en 5.000 Hz» que «el agudo está en 0,0002 segundos por ciclo».

Si en lugar de tocar una nota con tu guitarra usas un sintetizador (o un generador de tonos online) y le pides una senoide pura —un sonido que sigue exactamente un movimiento armónico simple, sin nada más—, te llevas una sorpresa: suena pobre, casi artificial, como ya vimos en el El sistema de la música con el ejemplo del pitido del microondas. El oído está acostumbrado a sonidos con armónicos; un tono puro suena raro precisamente porque le falta lo que el oído espera encontrar.

A pesar de eso, en este tema vamos a estudiar tonos puros, no porque sean comunes, sino porque son los ladrillos con los que se construye todo lo demás. Si entendemos cómo el oído percibe un tono puro, entenderemos cómo percibe los compuestos.

Recordemos del El sistema de la música cómo funciona el oído por dentro: la vibración llega al tímpano, los huesecillos la transmiten a la cóclea, dentro de la cóclea está la membrana basilar, y allí cada frecuencia activa una zona distinta. A esa organización la llamábamos tonotopía. Ahora vamos a entrar al detalle.

La membrana basilar es una estructura larga y estrecha (unos 35 mm de largo) que cambia su grosor y rigidez a lo largo de toda su longitud. Cerca de la entrada de la cóclea (la base, donde está la ventana oval) es estrecha y rígida; cerca del extremo opuesto (el ápex) es ancha y blanda. Cuando llega una vibración de una frecuencia determinada, la membrana entera se mueve, pero hay una zona concreta donde la oscilación alcanza su máximo: la zona de resonancia para esa frecuencia. Las frecuencias agudas producen su máximo cerca de la base, las graves cerca del ápex.

Es decir: cada frecuencia que entra en el oído se traduce en un punto activo de la membrana basilar. La altura percibida la «lee» en buena parte de ese lugar donde la membrana está vibrando con más fuerza. Por eso decimos que la cóclea transforma un patrón en el tiempo (vibración del tímpano) en un patrón en el espacio (zona activa de la membrana), y a su vez ese patrón espacial en señales nerviosas a través de las células ciliadas.

Aquí viene un dato sorprendente y robusto. Cada vez que doblamos la frecuencia, la zona activa se desplaza aproximadamente la misma distancia a lo largo de la membrana basilar: en torno a 3,5 mm en los modelos clásicos. No importa si la frecuencia inicial era 100 Hz o 1.000 Hz: el desplazamiento al doblarla es similar. Lo que cuenta para la membrana basilar no es la diferencia entre dos frecuencias, sino la proporción entre ellas.

Esto explica una cosa que llevamos siglos haciendo en música sin entender bien por qué funciona: la octava (que es exactamente doblar la frecuencia: ×2) suena igual de «octava» tanto si vas de un La grave a otro un poco menos grave como si vas del La más agudo del piano al siguiente. Físicamente son saltos de frecuencia muy distintos (220 → 440 Hz frente a 1.760 → 3.520 Hz), pero el oído los procesa como el mismo intervalo porque cubren la misma distancia en la membrana basilar.

También explica otra cosa: el rango de frecuencias musicalmente más relevante (de 20 a unos 4.000 Hz) ocupa más de dos tercios de la membrana basilar, mientras que el rango de 4 kHz a 16 kHz solo ocupa un tercio. La música pasa donde la cóclea tiene más resolución.

Hasta aquí hemos descrito la altura como un fenómeno físico y fisiológico bastante limpio: una frecuencia entra, una zona de la membrana basilar se activa, el cerebro lee. Pero hay un detalle que conviene introducir ya, porque sin él el modelo se queda incompleto: cómo el cerebro CATEGORIZA esas alturas en notas concretas no es solo cuestión de fisiología. Es también cuestión de cultura y de aprendizaje.

El caso más espectacular es el del oído absoluto. Recuerda lo que dijimos en el El sistema de la música: el oído absoluto es la capacidad de identificar la altura concreta de una nota sin ninguna referencia externa. Cuando suena un La en mitad de una canción y alguien puede decir «ese es un La» sin tener delante un instrumento de referencia, es oído absoluto. Mozart lo tenía. La gran mayoría de los músicos profesionales no, y aun así viven y trabajan perfectamente sin él.

Durante mucho tiempo se pensó que el oído absoluto era una cuestión de genética: nacías con él o no. Era una marca de talento innato. Pero la psicoacústica estadounidense Diana Deutsch llevó esa hipótesis al banco de pruebas a principios de los años 2000 con una intuición muy interesante: si el oído absoluto se desarrolla cuando el cerebro infantil aprende a etiquetar alturas como categorías estables, debería ser más frecuente entre personas que crecen hablando una lengua tonal.

Ese tipo de lenguas existen y se llaman lenguas tonales. El mandarín es el ejemplo más famoso: en mandarín, una misma sílaba (digamos «ma») significa cosas distintas según el contorno de altura con que se pronuncia. «Ma» con tono alto y plano significa «madre». «Ma» con tono ascendente significa «cáñamo». «Ma» con tono descendente y luego ascendente significa «caballo». «Ma» con tono descendente brusco significa «regañar» o «insultar». Cuatro significados, una misma sílaba, distinguidos por el contorno de altura. El cerebro de un bebé que crece oyendo mandarín como lengua materna se entrena desde muy temprano a procesar la altura como dato semántico fundamental. Otras lenguas tonales son el vietnamita, el cantonés, el thai o el yoruba. Y aquí está la idea importante: un hablante nativo de mandarín, al usar todos los días esos cuatro contornos durante años de su infancia, está literalmente entrenando la misma maquinaria perceptiva que luego usará para distinguir un La de un Si.

La explicación más aceptada es que el cerebro infantil expuesto a una lengua tonal desarrolla espontáneamente categorías estables de altura como parte del aprendizaje lingüístico, y esa codificación se reutiliza después para la música.

Léelo despacio. Lo que está diciendo este dato es que la altura, que parecía una propiedad neutra del sonido (una zona activa de la basilar), es también una construcción que tu cerebro aprende según el entorno cultural y lingüístico en el que creces. La maquinaria perceptiva básica es universal, sí; pero CÓMO esa maquinaria etiqueta y clasifica lo que recibe depende de la experiencia. Es un caso brutal de plasticidad cerebral —de la que hablábamos al final del El sistema de la música— aplicada específicamente a la percepción musical.

Y refuerza una idea que va a recorrer todo el libro: la música no es solo física, es física filtrada por un cerebro concreto, formado por una cultura concreta. En los siguientes apartados vamos a seguir mirando la altura desde el ángulo más físico (banda crítica, sonidos resultantes, fundamental ausente), pero conviene tener el dato de Deutsch en la cabeza como recordatorio de que ese ángulo es solo una mitad de la historia.

Con esta advertencia cultural en mente, volvamos ahora al detalle fino de la percepción: no solo importa qué frecuencia suena, sino cuánto tiene que cambiar para que notes que ha cambiado.

Ya vimos en el El sistema de la música el concepto de diferencia apenas perceptible (DAP): el cambio mínimo en una magnitud que el oído puede detectar. Para la frecuencia hay una DAP concreta, y depende de varios factores: la propia frecuencia (en graves cuesta más percibir un cambio que en agudos), la intensidad del sonido, la duración (notas muy cortas son más difíciles de «etiquetar») y si el cambio es repentino o gradual.

A frecuencias bajas necesitamos un cambio porcentual mayor para notar diferencia. Como anécdota histórica: el psicofísico Stevens intentó en 1937 construir una escala musical donde cada nota estuviera separada de la siguiente por una DAP. No funcionó; las culturas musicales del mundo prefieren proporciones, no DAPs.

Hasta aquí hemos visto tonos puros aislados. En la música real casi siempre suenan varias frecuencias a la vez: dos notas de un acorde, dos voces, una orquesta entera. ¿Qué pasa cuando dos tonos puros llegan al oído al mismo tiempo?

La respuesta corta es que se superponen linealmente: el tímpano recibe la suma de las dos vibraciones. Físicamente es muy directo. Lo interesante es lo que el oído hace después con esa suma. Distinguimos tres casos básicos:

Imagina dos cuerdas de tu guitarra que deberían dar la misma nota pero una está ligeramente desafinada respecto a la otra. Por ejemplo, la sexta cuerda pisada en el quinto traste y la quinta cuerda al aire, que deberían dar las dos un La (110 Hz). Si están bien afinadas suenan al unísono. Si no, oyes algo característico: el sonido total parece tener una sonoridad que sube y baja rítmicamente, como un wah-wah lento. Eso son los batidos.

¿Por qué pasa esto? Porque cuando dos vibraciones de frecuencias parecidas pero no iguales se superponen, alternan momentos en que se refuerzan (las crestas coinciden, el sonido suena más fuerte) con momentos en que se cancelan parcialmente (las crestas de una caen sobre los valles de la otra, el sonido se debilita). Matemáticamente, esa suma se puede describir como una vibración cuya frecuencia es el promedio entre las dos originales, pero con la amplitud variando lentamente al ritmo de la diferencia entre ellas. En la jerga de producción de audio, esto es una modulación de amplitud: una onda «rápida» cuyo volumen sube y baja al ritmo de una onda «lenta». Esa segunda capa lenta es lo que oyes como wah-wah. El oído sigue recibiendo dos frecuencias físicamente distintas, pero las percibe como una sola que pulsa.

Veámoslo gráficamente:

La frecuencia con la que sube y baja el volumen es exactamente la diferencia entre las dos frecuencias originales. Si una cuerda da 110 Hz y la otra 112 Hz, oirás dos batidos por segundo. Si ajustas la cuerda más cerca y se queda en 110,5 Hz, los batidos se vuelven más lentos: medio batido por segundo. Cuando los batidos desaparecen del todo, las dos frecuencias coinciden exactamente.

Ahora hagamos un experimento mental. Tomamos dos tonos puros: uno fijo a frecuencia f1, otro variable a frecuencia f2. Empezamos con f2 = f1 (unísono) y vamos subiendo f2 poco a poco. ¿Qué oímos en cada etapa?

Veámoslo gráficamente:

Físicamente, la banda crítica corresponde al hecho de que cada frecuencia activa no un punto sino una región de la membrana basilar (de uno o dos milímetros de ancho aproximadamente). Cuando dos frecuencias caen lo bastante cerca como para que sus regiones de resonancia se superpongan, el oído las trata como interactuando: por eso aparecen los batidos primero y la rugosidad después. Cuando se separan lo suficiente, sus regiones ya no se solapan y el oído las procesa como sonidos independientes.

Por la misma razón, las terceras y otros intervalos cerrados se evitan en posiciones graves tanto en piano como en guitarra: caen dentro de la banda crítica y la sensación es turbia. La armonía clásica orquestal suele reservar las octavas y quintas para los graves (intervalos amplios que se salen sobradamente de la banda crítica) y dejar las terceras y otros intervalos cerrados para las voces medias y agudas. No es una regla arbitraria; es la fisiología del oído condicionando la práctica musical.

Cuando dos frecuencias están muy alejadas (más allá de la banda crítica) y suenan a sonoridad alta, ocurre algo curioso: empezamos a oír una tercera frecuencia que no estaba en ninguno de los dos tonos originales. Se llama sonido resultante, y es un fenómeno físico real que ocurre principalmente dentro de la cóclea.

¿Por qué pasa? La cóclea no es un transductor perfectamente lineal, sobre todo a niveles altos. Cuando le llegan amplitudes grandes, lo que sale al sistema nervioso ya no es exactamente la suma de las dos ondas, sino una versión distorsionada que contiene combinaciones nuevas: f2−f1, 2f1−f2, f1+f2 y otras. La más fácil de oír es la diferencia f2−f1, que es la que vamos a tabular.

Veamos qué pasa con f1 fija y f2 variando hacia arriba (tomando f1 = La 440 Hz como referencia):

Una pequeña aclaración: la séptima armónica natural (razón 7/4) es un intervalo «puro» que aparece de forma natural en la serie de armónicos y que nuestro oído reconoce, pero que no está exactamente representado en el piano moderno (el temperamento igual lo desplaza). Es normal que no te suene de tu instrumento: lo veremos a fondo en el Por qué unas notas suenan bien juntas cuando hablemos de afinaciones y temperamentos.

Como ves, los sonidos resultantes generan tonos extras que están por debajo del más grave de los dos originales. Eso es una pista importante para entender la fundamental ausente, que viene a continuación. Para que el efecto se note hay que tocar fuerte: los sonidos resultantes son no lineales y crecen rápidamente con la amplitud. Por eso son más una curiosidad acústica interesante que una herramienta musical habitual.

Hay un segundo fenómeno relacionado pero conceptualmente distinto: la fundamental ausente. También aparece cuando suenan varias frecuencias a la vez, también nos hace oír una nota que no está físicamente, pero no ocurre por distorsión del oído sino por reconstrucción del sistema auditivo.

El sistema auditivo está acostumbrado a oír sonidos compuestos de armónicos: una nota de guitarra es la fundamental f0 más sus múltiplos 2·f0, 3·f0, 4·f0, etcétera (lo veremos a fondo en el Por qué un piano no suena a guitarra). Cuando recibe varias frecuencias que reconoce como «armónicos consecutivos» de algo (por ejemplo 3·f0 y 4·f0), reconstruye automáticamente cuál sería esa f0 ausente y la «oye» como si estuviera ahí.

Hay una pista física importante. Cuando varios armónicos de la misma fundamental suenan a la vez, su suma tiene una periodicidad común: la onda resultante se repite cada 1/f0 segundos, aunque f0 no esté presente como componente. El sistema auditivo es muy sensible a esa periodicidad temporal y la usa para «saber» cuál es la fundamental, incluso cuando no llega físicamente a su oído. No es magia: el patrón está ahí, codificado en el ritmo con que se repite la suma de los armónicos.

Por ejemplo: si llegan a tu oído 660 Hz y 880 Hz juntos, tu sistema auditivo reconoce que serían el tercer y el cuarto armónico de una fundamental de 220 Hz que no está sonando, y la reconstruye. Esa f0 reconstruida es la fundamental ausente.

Veámoslo gráficamente:

Una matización importante: en algunas filas (especialmente la octava) la fundamental común que aparece en la columna de la derecha coincide con un tono que ya está físicamente presente. En esos casos no hay «ausencia» propiamente dicha. El fenómeno se ve más limpio cuando los tonos presentes son armónicos superiores —por ejemplo 3·f0 y 4·f0 sin f0 misma—.

La diferencia clave entre sonido resultante y fundamental ausente:

• El sonido resultante existe físicamente como una vibración real generada en la cóclea por distorsión no lineal. Algunos productos de distorsión son incluso medibles desde el exterior del oído como emisiones otoacústicas (un fenómeno fascinante: el oído también emite sonido, no solo lo recibe).
• La fundamental ausente, en cambio, no existe como componente físico separado en el espectro: no hay una senoide sonando en f0. Lo que sí existe es un patrón temporal que se repite con el período de f0, y el sistema auditivo lo interpreta como una fundamental presente.

Antes de cerrar el tema, conviene parar a deshacer una asunción escondida que hemos arrastrado desde el principio sin hacerla explícita. Hasta aquí hemos descrito la altura como una propiedad bastante universal: una frecuencia activa una zona de la membrana basilar, las octavas son siempre el doble, los armónicos son múltiplos enteros de la fundamental. Y, gracias a eso, hemos podido construir intervalos como la octava, la quinta o la tercera mayor con razones numéricas limpias (2:1, 3:2, 5:4) que coinciden con armónicos consecutivos y por eso producen sensaciones reconocibles de consonancia.

Pero hay una premisa metida ahí que conviene poner sobre la mesa: estamos suponiendo que los sonidos tienen espectros armónicos, es decir, que sus componentes son múltiplos enteros de la fundamental. Esa premisa se cumple, con muy buena aproximación, en casi todos los instrumentos occidentales: cuerdas pulsadas o frotadas, columnas de aire en tubos, voz humana. ¿Qué pasa si cambiamos la premisa?

Vámonos al otro lado del mundo. En Indonesia, especialmente en Java y Bali, hay una tradición musical milenaria llamada gamelán. Un gamelán es una orquesta de instrumentos tradicionales compuesta principalmente de metalófonos —barras o láminas metálicas afinadas que se golpean con macillos— y gongs de distintos tamaños. Acompañan tambores, una flauta, instrumentos de cuerda y a veces voces. Suena —si nunca lo has escuchado, búscalo en YouTube con términos como «gamelan gong kebyar Bali» para el estilo balinés o «Javanese gamelan slendro pelog» para escuchar las dos escalas tradicionales que veremos enseguida— como una textura brillante, metálica, pulsante, repleta de capas, con un ataque característico de cada golpe. Acústicamente, no se parece a una orquesta occidental.

La diferencia tiene una base física muy clara, aunque la forma de convertirla en música es estética y cultural. Los instrumentos metálicos —a diferencia de las cuerdas y los tubos— tienen un comportamiento acústico muy distinto: cuando vibran, sus componentes espectrales NO son múltiplos enteros de la fundamental. Son lo que en el Por qué un piano no suena a guitarra llamaremos parciales inarmónicos: frecuencias que aparecen en el espectro pero que no encajan en la serie limpia 1f, 2f, 3f, 4f… Por dar una idea: un gong puede tener su fundamental seguida de componentes en razones aproximadas tipo 2,4f, 4,1f, 5,8f o similares en lugar de la serie limpia 2f, 3f, 4f de un instrumento armónico. La forma del espectro deja de ser uniforme y previsible.

Por eso las escalas tradicionales javanesas y balinesas no son escalas occidentales mal afinadas. Son escalas adaptadas a los espectros que producen sus instrumentos. Las dos principales son slendro y pelog, y conviene aclarar de entrada que no son plantillas universales fijas: son familias de afinación que varían entre conjuntos, regiones y prácticas concretas.

Léelo despacio. Lo que el gamelán nos enseña, además de ser uno de los géneros musicales más fascinantes del mundo, es que la afinación occidental no es la única solución posible al problema de combinar sonidos. Es una solución, muy buena, para instrumentos con espectros armónicos. Cambia el timbre del instrumento y cambia la afinación natural que le corresponde. La consonancia, vista de cerca, depende del timbre tanto como de las notas que se eligen.

Refuerza una vez más el principio holístico que recorre el libro entero: las cualidades del sonido (altura, sonoridad, timbre) no son compartimentos estancos. La altura «natural» depende del timbre. El timbre depende del instrumento, que depende de la cultura, que depende del cerebro que aprende a oírlo desde la infancia. Todo está enredado.

Volveremos sobre estas ideas en el Por qué un piano no suena a guitarra (cuando estudiemos a fondo los espectros inarmónicos en instrumentos como el piano y la batería) y en el Por qué unas notas suenan bien juntas (cuando veamos cómo la cultura occidental construyó sus temperamentos para resolver problemas que el gamelán nunca tuvo).

Si tuvieras que quedarte con ocho ideas de este tema, serían estas:

Cuatro experimentos cortos para aterrizar conceptos:

Términos técnicos introducidos en este tema, en una línea cada uno: